IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, Alman matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Teoremin ifadesi ve kanıtı

Hurwitz teoreminin değişik kaynaklarda yaygın iki ifadesi mevcuttur:
İfade 1: [1] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] de D üzerinde tanımlı, her bir öğesi D üzerinde sıfır olmayan bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun (Yani, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]). Eğer bu dizi D nin her tıkız altkümesinde bir [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] fonksiyonuna düzgün yakınsak ise, o zaman ya [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 'dır ya da [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 'nin D üzerinde sıfırı yoktur.
Kanıt: Varsayalım ki [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] D üzerindeki her noktada 0 olmasın (yani sıfır fonksiyonu olmasın) ama D 'nin en az bir noktasında da 0 değerini alsın. Diyelim ki bu nokta P olsun; yani [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olsun. Bir çelişki elde etmemiz lazım. İlk önce gözlemlemiz gereken [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 'nin de holomorf olacağıdır; çünkü [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] holomorf fonksiyonların tıkız altkümeler üzerindeki düzgün yakınsadığı bir fonksiyondur. O yüzden, D üzerindeki herhangi bir noktada [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'nin türevini almakta sakınca yoktur.Öyle bir r>0 seçelim ki P merkezli ve r yarıçaplı kapalı daire D 'nin içinde kalsın ve aynı zamanda [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] de bu kapalı daire üzerinde P noktasından başka bir yerde 0 değerini almasın. Böyle bir r bulabiliriz: Evvela, D bir bölgedir ve bu yüzden açık ve bağlantılı bir kümedir. Aynı zamanda, holomorf fonksiyonların sıfırları korunmalı noktalardır. Şimdi, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'nin P'deki sıfırının mertebesini verecektir. Yani varsayımımız üzerine en az 1 olacaktır. Diğer taraftan, her k için [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] sıfır değerini almadığı için [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi Cauchy integral teoremi sayesinde 0'a eşit olacaktır. Ancak, aynı zamanda en son yazdığımız bu integral [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] iken ilk yazdığımız integral ifadesine yakınsayacaktır; çünkü | ζ − P | = r tıkız bir kümedir ve bu küme üzerinde teoremin varsayımı gereği [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] düzgün yakınsamaları vardır. İkinci yazdığımız her k için 0'a eşitti ve ilk yazdığımız ifade de 1'den büyüktü. Bu bir çelişkidir. O zaman teorem doğrudur.
İfade 2: [2] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] de D üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun ve bu dizi de D üzerinde tanımlı bir [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] fonksiyonuna yakınsasın. Eğer [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] üzerinde [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ise, o zaman öyle bir [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] vardır ki her [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] için [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 'nin [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] içinde aynı sayıda sıfırı vardır.
İkinci ifadenin kanıtı da birinci kanıta benzer olarak yapılabilir. Örnekler

İlk ifadenin örneği olarak [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] alabiliriz. Üstel fonksiyon 0 değerini almadığı için her n için dizinin fonksiyonları sıfır olmaz ve bu dizinin [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] iken yakınsadığı fonksiyon 0 fonksiyonudur.
İkinci ifadede, alınan dairenin sınırında [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] koşulu önemlidir. Mesela, birim daire üzerinde
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]fonksiyonları [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] noktalarında 0 değeri alır. Ancak, bu fonksiyonların yakınsadığı f(z) = z − 1 fonksiyonunun birim daire üzerinde sıfırı yoktur.