Çevrimdışı

Tam Sayılar Nedir?, Tam Sayılar Konu Anlatımı

Tam sayılar, doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...). (-0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle (ya da Z şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir.

Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür.

En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.

Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir. Mutlak değer içindeki her sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar.

Tam sayılar Z ile gösterilir . Doğal sayılar (N)= {0,01,02,03,…………………}
Z+ ={+1,+2,+3,+4,…………….} Sayma sayılar (S)= {01,02,03,……………………}
Z- ={…………………-4,-3,-2,-1} Rakam = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Z ={……-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,}

Not : negatif sayılar O’dan uzaklaştıkça küçülür pozitif tam sayılar O’dan uzaklaştıkça büyür.

MUTLAK DEGER
Bir tam sayını sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünün başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir.

Not Mutlak degerin işareti “ | |” ile gösterilir

(-7)=(+7) | +6 | = (+6) |-9| = (+9) |+12 | = (+12)

Örnekler
|-6 | >| +3 | | -10 | = | +10 | |+6|< |-12| (-7)<( -2)
(-3) < (+3)

TAM SAYILAR KÜMESiNDE 4 iŞLEM
1. Toplama işlemi
Not: (+) pozitif ile (-) negatif toplamında direk çıkarılır yükü fazla olanın işareti konur .

ÖRN (+96) +( -86) = ( +10) (+3)+(+7)= (+10)

(-27 ) +( +15) = (-12) (-2)+(-7)= (-9)

(-2)+(+5)=(+3)

2. Çıkarma işlemi
1.sayı aynen yazılır. Çıkarma işlemi toplama işlemi olur. 2.sayı işareti değişir. Ardından toplama işlemi uygulanır.

Örnekler
(+7)-(+5) = ? (+1)-(+5)-(-7)+(+15)=?

(+7)+(-5) = ( +2) (+1)+(5)+(+7)+(+15)
(+23)+(+5)= (+18)

çıkarma işleminin sayı doğrusunda gösterimi
(+5)-(+3)=?

( +5)+(-3) = (+2)

(+5)-(+3)=(+2) – (+3)

Çarpma işlemi
Not = aynı işaretlerin çarpımı (+) pozitif , farklı işaretlerin çarpımı ise (-) negatiftir.

(-7) x (-2) x (+3) = ? (-2) x (+3) x (-4) x (-5) = ?
= (-6) x ( +20)
= (+14) x (+3) = (-120)
= (+42)

Bir Tam Sayının kuvvetleri
(+3)2 = (+3) x ( +3) = ( +9)
(+2)2 = (+2) x (+2) x ( +2) x ( +2) x (+2) = (+32)
(-4)2 = ( -4) x (-4) = (+16)
(-4)3 = ( -4) x (-4) x (-4) = (-64)

Not (-) bir tam sayının çift kuvveti (+) pozitif , tek kuvveti yine (-) negatiftir.

Parantezde ise işaret değişir aksi taktirde degişmez.
-24 = -/6 -25 = -32
Bir tam sayını 1. kuvveti kendisidir.
(+5)1 = (+5) (1000)1 = (1000) (-2)1 = (-2)
O Hariç sayıların 0 kuvveti -1 dir.
80 = +1 (-2000)0 = (+1 -100= +1 00 = tanımsız

4 BÖLME iŞLEMi
Not : aynı işaretlerin bölümü (+)’dır Farklı işaretlerin bölümü (-) dir

Örnek
(+8) : (+2) = (+4)
(-20) : (+5) = (-4)
(-10) : (-5) = (+2)
(+30 ) : ( -6) = (-5)

Önemli
0/5 = 0 6/0 = tanımsız

Örnek
12 / a-3 = ifadesi tanımsız ise a= ?

a-3 : 0
a= +3

işlem Önceliği
işlem önceliğinde aşağıdaki sıralamaya dikkat edilmelidir.
1. parantez ( sonra )
2. üstlü ifadeler ( sonra )
3. çarpma bölme ( en son olarakta )
4. toplama cıkarma

Örnek
[ (-7) –(-2) ] : [-2-3] = ?
= [-7+2] : (-5)
=(-5): (-5)
= (+1)

Örnek
,[(-9)+(+4)-3] x [(-27)+(+35)] =?
=[-9+4-3] x [ -27+35]
=(-8)x(+8)
=-64

Örnek
[(-1)9x (-20)0 ]+[(-2)3x32]-[(-5]0×09

not
(-1) in çift kuvveti (+1)
= (-1) in tek kuvveti (-1) dir

= [(-1)x(+1)] +[(-8) x (+9)] –(1,0)
= (-1) +(-72)-(0)
=-1-72-0
=-73

Örnek
(-21) x(+500)0 x(-6) x ( +4) x ( -3) =
-21 x +1 x -6 x +4 x -3
= -21 x -24 x-3
= +504 x -3
= -1512

Örnek
[(+5)2 x (+4)1 +(+3)2 ] x [-2 x -4 ] =?
= [(+25) x (+4) +(+9) ] x (+8)
= [+100+9] x (+8)
= +109 x +8
= +872

Örnek
[- ( +2)0 : (-2)3 x (-2)2] x [ (-5)4+(-25)] – [ (-7)+(127)] =?
[- (+1) : (-8) x (+4) ] x [ ( +725)+ (-25)] – (+120)=
[-(-8) x (+4) ] x (700) -120
= [- ( -32) x (700)]-120 =
= (+22400 ) – ( +120)
= 22400-120
=+2228

Örnek
7-[-5-(5-6)-10]-(-6) =?
= 7-[-5-(-1)-10] +6
= 7-*(-5+1-10)+6
= 7-(-14) +6
= 7+14+6
= +27

Örnek
3(2-6)+4(8-3) =?
= 3(-4) +4(+5)
= -12 +20
= +8

TEK ve ÇiFT SAYILAR
Tek : ( ………,-3,-1,+1,+2,+3,……….)
Çift : ( ……….,-4,-2,0,+2,+4,………….)

T= Tek Ç= çift

T+T=Ç T-T= Ç Ç+Ç = Ç Ç-Ç = Ç
Ç+T = T Ç-T = T T-Ç = T TxT = T

KISA NOT : çıkarma ve ya toplama işlemlerinde çifte = (+) teke = (-) dersek aynı işaretlerin sonucu (+) yani çift farklı işaretlilerin sonucu (-) yani tek sayı cıkar. – + -

Örnek
a tek ise hangileri tektir?

I a+2 II a2-1 III a3 +a IV 2 x a+3

Çözüm : a+1 diye düşünelim

I a+2 = ? III a3+a =?
+1+2 = +3 TEK +13+1 = +2 ÇiFT

II a2-1 = ? IV 2 x a+3 = ?
+12 -1= 2x +1+3 = 2+3 = +5 TEK
+1-1 = 0 ÇiFT

bize tekleri sordsugu için cevap I ve IV dür

Örnek
a/2 = c ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur.
A) a tektir B) a ciftir C) C tektir D ) c ciftir

Cözüm : a/2 = c/1 a = 2c Ciftir

Örnek : a,b,c C2+
2a+1 / 3b = c ise aşağıdakilerden daima hangisi doğrudur ?

A) a tek , c cift B) b ve c tektir C ) a ve c çifttir D) a ciftir b tektir

2a+1 / 3b = c/1 2a + 1 = 3 x b x c tek olmak zorunda ise b ve c de tek olmalıdır

bunun için cevap b şıkkıdır

Örnek
1. (-1)102x (-1)103+(-1)3 / (-1)205 : (-1)20 işlemin sonucu kaçtır

a) -2 b ) -1 c) +1 d) +2

cözüm
(-1)102 x (-1)103 + (-1)3 / (-1)205 : (-1)20
= +1 x -1 -1 / -1 x +1
= -1 -1 / -1
= -2 -1
= +2
doğru şık D dır

Örnek
a = -4 ve b=-9 olduguna göre ( | b-| -|a| ) : ( b-a ) işlemin sonucu kaçtır

a) +1 b) 0 c)-1 d)-2

cözüm
( | b | -| a| ) : (b-a) =? ( |-9 | -| -4| ) : [(-9) –(-4)]

(+9-4) : (-9+4) =
(+5) : (-5) = -1 buna göre C şıkkıdır

Örnek
A= { -1,-3,-16,+12,+4} kümesinin mutlak değeri en büyük olan elemanı ile değeri en büyük olan elemanın toplamı kaçtır

A) -4 B) +3 C) +11 D) +28

Çözüm
Mutlak değerde en büyük olan = -16
Değeri en küçük olan = +12

-16+12 = -4 A şıkkı doğru seçenektir

Örnek
a, b, ve c pozitif tam sayılardır

a x b = 18 , b x c = 3 ise a+b+c nin alabileceği en büyük değer kaçtır.

A) 10 B)18 C ) 20 D) 22

Çözüm
En büyük olması için b’ye 1 , o zaman a ‘ ya 18 , c’ yede 3 gelir

a+b+c = ?
a= 18 18+1+3 = 22 O zaman D şıkkı doru seçenektir
b=1
c=3

Örnek : | (-6)2| – (-|-8| )2 + | ( -12 ) x3 | – |42 – (-4) | işlemin sonucu aşşagıdakilerden hangisidir. ?

A) 72 B) 0 C)-56 D) -128

Çözüm
| (-6)2| – (-|-8| )2 + | ( -12 ) x3 | – |42 – (-4) |

|(+36)| – [-(+8)2 ]+ | -36| -| 16-(-4)

(+36) –(-8)2 +(+36) – | -64|
(+36) – ( +64) + (36) –(+64)
+36-64+36-64
= (-56)

c şıkkı doğrudur