Çevrimdışı

Geleneksel mantık, okul örneklerinde ve retorik argümantasyonlarda çok yaygın olarak kullanılır. Ama geleneksel mantığın, bir bilimin içeriğini tam olarak ifade etmek ve bilimsel çıkarım sürecinin çeşitliliğini doğrulamak işinde açıkta dışta kaldığı görülmüştür.

Formelleştirilmiş mantığın gösterdiği gelişme, onun bilimlerde kullanılmasına yol açmıştır. Bu matematikte gerçekleşmiştir. Formelleştirilmiş mantığın matematikte kullanımı üç form gösterir:

1. (A) Matematik tanımsal yolla mantığa indirgenir.
2. Bir bilimsel disiplin, mantığın bir kullanımı ya da uzantısı olarak ele alınır.

Burada iki durumu birbirinden ayırmak gerekir
(B) Kullanım, mantığa yabancı işlemleri ve işaretleri içermez.
(C) Kullanım, “mantıksal olmayan” işlemsel işaretleri içerir.

3. (D) Ya da tersine, mantık, formelleştirilmiş matematiğin bir alt bölümü olarak görülür.

a. Matematiği Mantığa İndirgeme Denemesi
Leibniz, kendi mantıksal kalkülü ile tüm bilimleri dedüksiyon ile doğrulayabileceğini düşlemişti. Buna karşı biz şunu yinelemek zorundayız; Doğabilimlerinin formelleştirilmesi bugüne kadar gerçekleştirilememiştir. Gerçi klasik mantığın ustalarının, çabalarını matematiğin formelleştirilmesine yönelttiklerini görürüz. Russell ve Whitehead’ın büyük yapıtlarının adı da zaten bunu (Principia Mathematica) gösterir

Üç ciltlik yapıtın ilk iki cildi tamsayılar göreli sayılar ve düzen sayıları kuramının tipsel bir formelleştirmesidir ve bu çabaya daha Frege ’nin “Aritmetiğin Temelleri” (1895) adlı önemli yapıtında da rastlarız

a) Bu yapıtlarda sadece matematik kavramları formüle edilmez tersine matematiksel kavramlar mantıksal kavramlara geri götürülür

Aynı şey sonsuzluk (ıransfinite) ve sonluluk (finite) konusunda da yapılır Matematiksel kavramların indirgenmek istendiği mantıksal kavramlar çok karmaşıktırlar. Biz bir sayma sayısını (kardinal sayı) sınıfların sınıfı olarak kabul etmişizdir. Bir göreli sayı ise bir işaretler sınıfıdır. Ama bunları yapabilmek için önce özel aksiyomlara başvurma gereği vardır.

b) İşte burada temel güçlüklere çarpılır. “Principia Mathematica”dan önce, Frege bazı postulatlardaki çelişkilere işaret etmişti. Bu çelişkilerin ilk türü olarak yalancı paradoksu yeniden gündeme getirilmişti: “Ben yalan söylüyorum” ya da “şimdi yazdığım tümce yanlıştır” savları sağlam ve somut bir yapıya sahip görünürler ama, buna rağmen içlerinde bir çelişki taşırlar.

İkinci tarz paradoksları Russell’a borçluyuz. Biz “k” yı kendinden başka elemanı olmayan bir sınıfın özelliği sayarsak, “herhangi x için: x bir k’dır” önermesi, tanımı gereği “x bir x değildir” önermesi ile eşanlamlı olur. Biz, özel bir durum olarak x k olduğunu düşünürsek, “k bir k’dır” ‘e “k bir k değildir” önermelerinin ikisi de geçerli olur ki, burada açık bir çelişki vardır.

Buna dayanılarak bu çelişkilere paradokslar denmesi adet olmuştur. Gerçekte, burada antinomiler söz konusudur. Antinomiler, ait oldukları sistemleri çelişkili kılarlar. Okuyucu, bu türden antinomilere bakarak bunları sofizmal (safsata) sayabilir ve insanın sağlıklı sezgisel anlayışının bunları yadsıyacağını söyleyebilir. Ne var ki, sağlıklı sezgisel anlayışının teknik güçlüklerin üstesinden gelemediği anlaşılmıştır. Öbür yandan, okuyucu bu paradoksların pratik hayat için önem taşımadıklarını da söyleyebilir. Ama formelleştirilmiş mantık kuramcısı için bu paradokslar, kendi formelleştirme çabaları için ciddi tehlikelerdir. Bu paradokslar bize, düşünsel işlemlerimizde kullandığımız kavram ve kavram guruplarının kurulmasında belli sınırlara gelip dayandığımızı göstermiştir ki, bunlara dikkat etmeden yapamayız.

c) Russell’ın “tipler” kuramı paradoksların yarattığı güçlüklerin giderilmesi için yeterli bir çözüm sunmaktadır. Basitçe ele alındığında bu tipler, birinci türden paradoksları (yalancı paradoksu, v.b.) semantik yoldan aşmaktadırlar. Bunları 4.B’de ele alacağız.
İkinci türden paradoksları aşmak için, çeşitli mantıksal tipler ya da kategoriler ortaya konmuştur. Örneğin, bireyler (tekler) sınıflar ve sınıfların sınıfları gibi. Her özne ya da yüklem, belirli bir mantıksal tipe aittir ve yüklem de daima aracısız olarak özneye göre düzenlenmiş bir tiptir. (Yalnız, burada ilişkiler mantığına ait bir durumdan sözedilmediğini belirtelim). Bu nedenle, “x bir k’dır” örneğinde, x bir sınıf ise, k sınıfların sınıfı olur.

Buna göre artık “k bir k’dır” türüden ifadelere başvurulmaz. Öyleyse çelişki, tipler kuramıyla aşılmış olmaktadır. Tiplerin benimsenmesi akla uygun görünmektedir. Ama bu tipler, kalkülü iyice karmaşık hale de sokmaktadır. Bu yüzden bu tipleri çeşidi yollardan basitleştirme denemelerine başvurulmuştur (diziler kuramı, Quine’ın ‘stratifikation” ve Lesnievski’nin “mereoroloji” kuramları gibi)

b. Mantığın Mantıksal Olmayan Yüklem ve Sembollerle Genişletilmesi

Her sistem, başka bir sistemin, yani, artık tanımlanamaz türden olan nihai (sonul) simge ve aksiyomları içeren başka bir sistemin uzantısıdır. Matematiğin “Principia” daki formelleştirilme biçimi, aslında bizzat kendisi nihai (sonu1 aksiyomlara dayalı olarak klasik mantığın genişletilmesinden başka bir şey değildir.

Bunun gibi, geometrinin ve doğabilimlerinin ayrı ayrı, kendi bağlamları içinde formelleştirilmesi denemesi (Carnap, Goodman), yine aynı şekilde klasik mantığın genişletilmesine dayanır. Mantıksal simgelerin formelleştirilmesi, aslında doğa gerçekliğine işaret etmeye hizmet eder. Ama bu simgeler, mantıksal kategorileri belirli tiplerden kalkarak düzenlerler ki, böylece yine mantık yasalarına dayanılarak bir refleksiyona başvurulmuş olur. Örneğin doğabilimlerinde bu tipler, fiziksel verilen ifadeye yarayan nihai (sonul) aksiyomlardır.


c. Formelleştirmeye Dayalı Genişleme
Genişletme çabası, mantıksal kategorileri altına alamayan simgelerle yapıldığında özellikle ilgi çekicidir. Hilbert, aritmetiği formelleştirirken, “a” ile “a sayısının ardılı” üzerinde durur. “a” yı gösteren simge, ne bir birey (tek), ne bir sınıf, ne de bir ilişkiyi gösterir, v.b.

Ama dikkat edelim: Formelleştirilmiş bir sistem, hiç de her zaman zorunlu olarak bir mantıksal uzanımda olmayabilir. Ama bu yüzden, örneğin formelleştirilmiş bir matematiksel sistemin postulatlarını, zorunlu olarak, bir bölümünü mantıksal postulatlar, öbür bölümünü de sisteme özgü postulatlar olarak iki diziye bölmek gerekmez. İlk dizi yetkin olmayabilirse de her iki diziyi birbirlerinden ayırmaya hiç de gereksinme duymayabiliriz.

Böylece mantıkçılar adım adım şuna vardılar: Onlar, artık salt mantık olarak gösterilebilecek a priori bir sistemle fazla ilgilenmiyorlar. Tersine, onları ilgilendiren, artık, tüm formelleştirilmiş sistemlerde salt bir mantığın olmadığını görmek, başka bir deyişle bu sistemlerin salt bir mantığa indirgenemeyeceğini saptamaktır. Böylece, bize mantıksal ya da matematiksel olarak görünen tüm formelleştirilmiş sistemler üzerine bir meta-kuramsal inançlar sorunu ortaya çıkmış oldu.

d. Soyut Cebir Karşısında Formelleştirilmiş Mantık
Artık, çağdaş mantık, tüm çıkarım yöntemlerini tek “mantık”a indirgemekten çok, formelleştirilmiş sistemleri birbirleriyle karşılaştırma işiyle ilgilenmektedir. Sistemler, biri öbürünün uzantısı, genişlemesi olarak görülmeksizin de karşılaştırılabilirler. Bu da, birini öbürüne dayanarak yorumlamakla, binindeki geçerli bir ifadeyi, öbürünün geçerli bir ifadesiyle uzlaşıma getirmekle olur.

Bu bakımdan, özellikle mantıksal ve matematiksel sistemler arasında yapılan karşılaştırma ilgi çekicidir. Öyle ki, bu karşılaştırma sonunda matematik yeni bir yönelim kazanmıştır.

Örneğin “soyut cebir” üzerine yeni bir form geliştirilmiştir ve artık burada yapılan yorumlar, az ya da çok bulanık “nicel” veriler ile sınırlı değildir Soyut cebir sistemleri, “nicelik” lerle değil, birlikler, gruplar, halkalar kümeler, v.b. ile ilgilidirler. Bu sistemler belli aksiyomlardan yola çıkılarak formelleştirilebilir ve ne var ki, bu aksiyomlar hiç da mantıksal aksiyomlar değillerdir. Öyle ki, bu sistemler elemanter cebir işlemlerini de içerirler Sonuç olarak, formelleştirilmiş sistemlerin iki büyük grubu olduğunu görüyoruz: Mantık sistemleri ve soyut cebir sistemleri Ve son kuşak mantıkçıları için en korkutucu olan şey şudur: Bu sistemlerden biri öbüründen daha elemanter ya da fondamental değildir.

Buna karşılık, bu sistemler arasında giderek bir uzlaşım sağlanabilir. Birinin elemanları ile öbürünün elemanları arasında eşbiçimsel (isomorf) bir uygunluk oluşturulabilir Bu da iki şekilde olabilir:
1. Soyut cebir sistemleri mantıksal sistemlerin eşbiçimseli olarak görülebilirler,
2. Uzlaşımsal sayıların ve rekursif işlevlerin kullanılmasıyla -Gödel, bu teknik konusunda büyük başarıya ulaşmıştır mantıksal ifadeler ve mantıksal kanıtlamalar aritmetiğin ifadeleri ve işaretleri ile formüle edilebilir

__________________